1.1.1. Models Unidimensionals. Model de Ricker

Cas: el salmó roig al nord del pacífic

El salmó roig, als rius del nord del Pacífic, fa una posta cada 4 anys. Si en tres períodes consecutius, $t=0,4,8$, s’observen poblacions de 0.325, 0.431 i 0.529 milions de salmons, respectivament, és possible trobar els valors de $R$ i $K$ que permetin calcular l’evolució de la població de salmons per un model de Ricker?

Resolució amb Matlab del sistema d’equacions de l’exemple del Model de Ricker dels salmons als rius del nord del Pacífic

Es tracta d’un sistema de dues equacions amb dues incògnites: r i K ( i tot i que no són equacions lineals, el Matlab no té problemes en trobar una solució)

% entrem la instrucció per a resoldre sistemes d'equacions que figura al
% document "Introducció al Matlab"

syms r K, solucio=solve([0.431==0.325*exp(r*(1-0.325/K)),0.529==0.431*exp(r*(1-0.431/K))],[r,K])

Warning: Unable to solve symbolically. Returning a numeric solution using vpasolve.
solucio = struct with fields:
    r: 0.51960209604121860724470879574985
    K: 0.71157617909621780281959432221705

Tot i que el programa ens avisa que no pot resoldre el sistema analíticament, i ens proposa de resoldre’l numèricament a partir d’una instrucció diferent del “solve”, que és “vpasolve”, fixeu-vos que ja ens ha donat la solució que buscàvem.

Però si no n’esteu segurs i voleu repetir-ho fent servir aquesta nova instrucció “vpasolve”, ho fem a continuació:

Això sí, reanomeno les incògnites r i K com r1 i K1, per tal que el programa no es confongui. També reanomeno la solució com a solucio1

syms r1 K1, solucio1=vpasolve([0.431==0.325*exp(r1*(1-0.325/K1)),0.529==0.431*exp(r1*(1-0.431/K1))],[r1,K1])

solucio1 = struct with fields:
    r1: 0.51960209604121860724470879574985
    K1: 0.71157617909621780281959432221705

En aquest cas de solució numèrica, no ens cal ni demanar-li que ens mostri la solució com hauríem de fer en una solució analítica on caldria la instrucció següent:

[solucio1.r1,solucio1.K1]

ans =

I si ho preferim, aquests resultats de les variables r1 i K1 només amb 4 decimals, la instrucció “single” ens ho permet:

single(ans)

ans = 1x2 single row vector
    0.5196    0.7116